[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wobec tego
À/2
k
tg xdx = limk’! À - tg xdx = limk’! À - [- ln | cos x|]k
0 0 0
2 2
= limk’! À - (- ln | cos k| - (- ln | cos 0|))
2
= limk’! À - (- ln | cos k| + ln 1)) = + ".
2
(3) Niech
1
"
f(x) = .
1 - x2
Wtedy funkcja f jest określona na przedziale otwartym (-1, 1) oraz
1
"
lim f(x) = lim = + ",
x’!-1+ x’!-1+
1 - x2
1
"
lim f(x) = lim = + ".
x’!1- x’!1-
1 - x2
Rozbijemy przedział (-1, 1) na sumę dwóch przedziałów:
(-1, 1) = (-1, 0] *" [0, 1).
13.3. Całki niewłaściwe 101
Wtedy
1 0 1
dx dx dx
" " "
= +
-1
1-x2 -1 1-x2 0 1-x2
0 k
dx dx
"
+
= limh’!-1 h "1-x2 + limk’!1- .
1-x2
Ponieważ
dx
"
= arc sin x + C,
1 - x2
więc
1 0 1
dx dx dx
" " "
= +
-1
1-x2 -1 1-x2 0 1-x2
0 k
dx dx
"
+
= limh’!-1 h "1-x2 + limk’!1-
1-x2
= limh’!-1+ [arc sin x]0 + limk’!1- [arc sin x]k
h 0
= limh’!-1+ (arc sin 0 - arc sin h)
+ limk’!1- (arc sin k - arc sin 0)
À
= 0 - -À + - 0 = À.
2 2
13.3.2. Całka niewłaściwa w przedziale nieograniczonym
Definicja 114. Niech f będzie określona na przedziale [a, + ") będzie całko-
walna w każdym przedziale [a, M] ‚" [a, + "). GraniecÄ™ ( o ile istnieje) caÅ‚ek
M
f(x)dx przy M ’! " nazywamy caÅ‚kÄ… funkcji f w granicach od a do + "
a
i oznaczmy symbolem
+ " M
f(x)dx = lim f(x)dx.
M’!+ "
a a
Przykład 134. Obliczyć całki
"
ln x
(1) dx;
1 x3
"
1
(2) .
1
x
(1) Ponieważ przedział, po którym całkujemy, jest nieskończony, więc
" M
ln x ln x
dx = lim dx.
M’!+ "
1 x3 1 x3
Najpierw wyliczymy całkę nieoznaczoną całkując przez części:
1
u = ln x u =
ln x
x
dx =
1
x3
v = v = x-3dx = -1 1
x3 2 x2
1 1 1
= (ln x) -1 1 - dx
2 x2 x 2 x2
1 1 1
= -1 ln x + x-3dx = -1 ln x - .
2 x2 2 2 x2 4 x2
102 Rozdział 13. Całka
StÄ…d
M
" M
ln x 1 1
dx = limM’!+ " 1 ln xdx = limM’!+ " -1 ln x -
1
x3 x3 2 x2 4 x2 1
.
1 1 1 1
= limM’!+ " -1 ln M - - -1 ln 1 - .
2 M2 4 M2 2 12 4 12
Ponieważ
ln M + "
lim = ,
M’!+ "
M2 + "
więc aby wyliczyć tę granicę skorzystamy ze wzoru l Hospitala, zatem
1
ln M 1
M
lim = lim = lim = 0.
M’!+ " M’!+ " M’!+ "
M2 2M 2M2
Wobec tego
"
ln x 1 ln M 1 1 1 1 1
dx = - lim - lim + · 0 + = .
M’!+ " M’!+ "
1 x3 2 M2 4 M2 2 4 4
(2) Aby obliczyć całkę
"
1
,
1 x
skorzystamy ze wzoru
" M
1 1
dx = lim dx,
M’!+ "
1 x 1 x
Zatem
" M
1 1
dx = lim dx = lim [ln x]M = lim (ln M - ln 1) = + ".
1
M’!+ " M’!+ " M’!+ "
1 x 1 x
Definicja 115. Podobnie jak w przypadku poprzedniej definicji określimy
całkę z funkcji f na przedziale (- ", a] wzorem
a a
f(x)dx = lim f(x)dx, K
K’!- "
- " K
Twierdzenie 89. Dla dowolnego a " mamy
+ " a + "
f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
- " " a
Przykład 135. Obliczyć następujące całki:
1. etdt;
- "
+ "
2. (x2 + 2x + 5)dx.
- "
(1) Wyznaczymy całkę
etdt
- "
13.4. Zastosowanie całek oznaczonych 103
korzystajÄ…c ze wzoru
0 0
etdt = lim etdt.
K’!- "
- " K
Skoro
etdt = et + C,
to
K
0 0
etdt = lim etdt = lim et = lim e0 - eK = 1 - 0 = 1.
K’!- " K’!- " K’!- "
- " K
(2) Niech
+ "
I = (x2 + 2x + 5)dx.
- "
Niech a będzie dowolną liczbą rzeczywistą, np. a = 1, wtedy
+ " a + "
(x2 + 2x + 5)dx = (x2 + 2x + 5)dx + (x2 + 2x + 5)dx.
- " - " a
Ponieważ
1
(x2 + 2x + 5)dx = x3 + x2 + 5x + C,
3
więc
+ "
I = (x2 + 2x + 5)dx
- "
a + "
= (x2 + 2x + 5)dx + (x2 + 2x + 5)dx
- " a
a M
= limK’!- " K(x2 + 2x + 5)dx + limM’!+ " a (x2 + 2x + 5)dx
a M
.
= limK’!- " 1x3 + x2 + 5x + limM’!+ " 1x3 + x2 + 5x
3 3
K a
1
= a3 + a2 + 5a - limK’!- " 1K3 + K2 + 5K
3 3
1
+ limM’!+ " 1M3 + M2 + 5M - a3 + a2 + 5a
3 3
= -(- ") + " = ".
13.4. Zastosowanie całek oznaczonych
À
PrzykÅ‚ad 136. Obliczyć pole figury ograniczonej prostymi x = -À , x = ,
2 2
y = 0 i krzywÄ… y = sin x.
Przypuśćmy, że pole P tej krzywej jest równe całce oznaczonej:
À/2
P = sin xdx.
-À/2
Wtedy
À/2
À À
P = sin xdx = [- cos x]À/2 = - cos - - cos - = 0.
-À/2
-À/2 2 2
104 Rozdział 13. Całka
Otrzymaliśmy, że P = 0, co jest sprzeczne.
BÅ‚Ä…d jest spowodowany tym, że funkcja sin x na przedziale -À , 0 jest
2
ujemna. Zatem jeśli chcemy wyliczyć pole figury ograniczonej prostymi x =
À
-À , x = , y = 0 i krzywÄ… y = sin x musimy wyliczyć caÅ‚kÄ™
2 2
À/2
P = | sin x|dx.
-À/2
Stąd wynika, że
À/2
P = | sin x|dx
-À/2
À/2
= (- sin x)dx + sin xdx
-À/2 0
= [-(- cos x)]0 + [- cos x]À/2
-À/2 0
À
= cos 0 - cos -À + - cos - (- cos 0)
2 2
= 1 + 1 = 2.
Twierdzenie 90. Niech a
x = b, y = 0 i krzywÄ… y = f(x) obliczamy ze wzoru:
b
P = |f(x)|dx.
a
Twierdzenie 91. Pole obszaru D ograniczonego krzywymi ciągłymi y =
f(x) i y = g(x), gdzie g(x) f(x) dla każdego x " [a, b] i prostymi x = a i
x = b wyraża się całką
b
(g(x) - f(x)) dx.
a
Przykład 137. Obliczyć pole obszaru zawartego między parabolą y = x2 - 1
i prostÄ… y = x + 1.
Aby wyznaczyć punkty a i b rozwiązujemy układ równań
y = x2 - 1
.
y = x + 1
Punkty mają współrzędne a = -1 a b = 2. Ponieważ x + 1 x2 - 1 dla każ-
dego x " [-1, 2], więc pole obszaru ograniczonego danymi krzywymi wyraża
siÄ™ wzorem
2
2 2
1
(x + 1 - (x2 - 1))dx = (-x2 + x + 2)dx = -1x3 + x2 + 2x
-1 -1
3 2
-1
1 1
= -8 + 2 + 4 - - + 2 = 51.
3 3 2 2
Definicja 116. Niech dana będzie na płaszczyznie krzywa K określona rów-
naniem y = f(x) dla x " [a, b]. Przez obrót krzywej dookała osi ox powstaje
powierzchnia obrotowa S. Przez obrót obszaru
D = {(x, y)x " [a, b], 0 y f(x)}
powstaje bryła obrotowa V .
13.4. Zastosowanie całek oznaczonych 105
Twierdzenie 92. Objętość bryły obrotowej V wyraża się wzorem
b b
À (f(x))2 dx = À y2dx.
a a
Jeśli f jest funkcją ciągłą na przedziale [a, b] i dodatnią na (a, b), to pole
powierzchni bryły obrotowej wyraża się wzorem
b b
2À f(x) 1 + (f (x))2dx = 2À y 1 + (y )2dx.
a a
Krzywa K o równaniu y = f(x), gdzie x " [a, b] i f jest funkcją ciągłą
na przedziale [a, b] ma długość
b b
1 + (f (x)2dx = 1 + (y )2dx.
a a
Przykład 138. Niech y = 2x + 2 dla x " [-1, 1]. Obliczyć długość krzywej
K, objętość bryły powstałej przez jej obrót dookoła osi ox i jej pole powierzch-
ni.
Długość krzywej K wyraża się wzorem
1 1 " "
1 + [(2x + 2) ]2dx = 5dx = 2 5.
-1 -1
Objętość danej bryły obrotowej obliczymy ze wzoru
1
1 1
4 2
À (2x + 2)2dx = À (4x2 + 8x + 4)dx = À x3 + 4x2 + 4x = 10 À,
-1 -1 3 3
-1
a jej pole powierzchni
1 " " "
2À (2x + 2) 5dx = 2À 5[x2 + 2x]1 = 8À 5.
-1
-1
Rozdział 14
Przestrzenie metryczne
Definicja 117. Niech X bÄ™dzie niepustym zbiorem. FunkcjÄ™ Á : X × X ’!
nazywamy metryką jeśli spełnione są następujące warunki:
1. "x,y"X Á(x, y) = 0 Ô! x = y;
2. "x,y"X Á(x, y) = Á(y, x);
3. "x,y,z"X Á(x, y) Á(x, y) + Á(y, z).
ParÄ™ (X, Á) nazywamy przestrzeniÄ… metrycznÄ….
Przykład 139. Przykłady przestrzeni metrycznych:
(1) X = , Á(x, y) = |x - y|,
2
(2) X = , jeśli x = (x1, x2), y = (y1, y2), to
Á(x, y) = (x1 - y1)2 + (x2 - y2)2.
(1) Pokażemy, ( , | · |) jest przestrzeniÄ… metrycznÄ….
1. Niech x " , wtedy
Á(x, y) = 0 Ò! |x - y| = 0 Ò! x - y = 0 Ò! x = y
oraz
x = y Ò! x - y = 0 Ò! |x - y| = 0 Ò! Á(x, y) = 0.
Zatem warunek 1. jest spełniony.
2. Niech x, y " . Wtedy
Á(x, y) = |x - y| = |(-1)(y - x)| = | - 1||y - x| = |y - x| = Á(y, x).
3. Niech x, y, z " . Wówczas
Á(x, y) = |x - y| = |x - z + z - y| |x - z| + |z - y| = Á(x, z) + Á(z, y).
2
(2) Pokażemy, że ( , Á) jest przestrzeniÄ… metrycznÄ…, gdzie
Á(x, y) = x1 - y1)2 + (x2 - y2)2, x = (x1, x2), y = (y1, y2).
1. Niech x, y " . Wtedy
Á(x, y) = 0 Ô! (x1 - y1)2 + (x2 - y2)2 = 0
Ô! (x1 - y1)2 = 0 '" (x2 - y2)2 = 0
.
Ô! x1 = y1 '" x2 = y2
Ô! (x1, x2) = (y1, y2)
Ô! x = y
108 Rozdział 14. Przestrzenie metryczne
2. Niech x, y " . Wówczas
Á(x, y) = (x1 - y1)2 + (x2 - y2)2
= ((-1)(y1 - x1))2 + ((-1)(y2 - x2))2
.
= (y1 - x1)2 + (y2 - x2)2
= Á(y, x)
3. Niech x, y, z " i niech z = (z1, z2).
Najpierw pokażemy, że dla dowolnych liczb ai, bi " , gdzie i = 1, 2,
zachodzi następująca nierówność:
(a1b1 + a2b2)2 a2 + a2 b2 + b2 .
1 2 1 2
Istotnie, ustalmy i = 1, 2. Zauważmy, że (aix - bi)2 0 dla dowolnych
liczb x, ai, bi. Wtedy a2x2 - 2aibix + b2 0.
i i
Po zsumowaniu powyższych dwóch nierówności otrzymujemy
a2 + a2 x2 - 2 (a1b1 + a2b2) x + b2 + b2 0.
1 2 1 2
Zauważmy, że warunek ten będzie zachodzić, gdy " 0,
[ Pobierz całość w formacie PDF ]