[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Jednokolorowe znowu się upraszczają, teraz zostaje
= ([[X, Y ], Z] - [[X, Z], Y ] + [[Y, Z], X])
Znikanie drugiej różniczki jest więc równoważne tożsamości Jacobiego.
Cofnięcie formy a różniczka. Niech : M ! N będzie odwzorowaniem gładkim. Dyskuto-
waliśmy już cofnięcie różniczki funkcji określone wzorem
"df = d(f % ).
Zauważmy, że zachodzi
("df)(v) = df(T(v).
Korzystając z tej obserwacji można zdefiniować cofnięcie dowolnej k-formy:
"(v1, . . . , vk) = (T(v1), . . . , T(vk))
Aatwo sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że
"( '" ) = " '" ".
Jak zachowuje się cofnięcie formy względem różniczki?
Fakt 4.
d(") = "(d)
5
Dowód: Lokalnie każda forma jest sumą wyrażeń postaci
fdg1 '" '" dgk.
Mamy więc
"(fdg1 '" '" dgk) = (f % )("dg1) '" '" ("dgk)
i
d["(fdg1 '" '" dgk)] = d(f % ) '" ("dg1) '" '" ("dgk) = ("df) '" ("dg1) '" '" ("dgk)
Z drugiej strony
d(fdg1 '" '" dgk) = df '" dg1 '" '" dgk
i
"d(fdg1 '" '" dgk) = ("df) '" ("dg1) '" '" "(dgk).
Konkurs. Przestrzeń totalna T"M wiązki kostycznej wyposażona jest w kanoniczną jednoformę
M zwaną formą Liouville a. Jednoforma ta działa na wektory styczne do T"M czyli elementy
TT"M. Definicja formy Liouville a wymaga użycia dwóch naturalnych odwzorowań:
"
T M : TT"M -! T"M
przyporządkowującego wektorowi stycznemu jego punkt zaczepienia, oraz
TM : TT"M -! TM
odwzorowania stycznego do kanonicznego rzutu M : TM ! M. Jeśli więc mamy wektor
styczny v do T"M w punkcie " T"M, możemy wyprodukować z niego jeden kowektor na
"
M: T M(v) = i jeden wektor styczny do M: TM (v). Kowektor i wektor zaczepione są w
tym samym punkcie rozmaitości M, można je więc na sobie obliczyć:
"
M(v) = T M(v), TM (v) = , TM(v) .
Dowolna forma
: M -! T"M
może zostać użyta do cofnięcia kanonicznej formy Liouville a z T"M do M. Zadanie konkursowe
polega na udowodnieniu, że
"M =
dla dowolnej formy . Wygrać można placek ze śliwkami, albo inne ciasto (według życzenia,
w zakresie moich umiejętności). Dowodzić można zarówno z użyciem współrzędnych jak też
geometrycznie.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]