[ Pobierz całość w formacie PDF ]

Jednokolorowe znowu się upraszczają, teraz zostaje
= �([[X, Y ], Z] - [[X, Z], Y ] + [[Y, Z], X])
Znikanie drugiej różniczki jest więc równoważne tożsamości Jacobiego.
Cofnięcie formy a różniczka. Niech � : M �! N będzie odwzorowaniem gładkim. Dyskuto-
waliśmy już cofnięcie różniczki funkcji określone wzorem
�"df = d(f �% �).
Zauważmy, że zachodzi
(�"df)(v) = df(T�(v).
Korzystając z tej obserwacji można zdefiniować cofnięcie dowolnej k-formy:
�"�(v1, . . . , vk) = �(T�(v1), . . . , T�(vk))
A
atwo sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że
�"(� '" �) = �"� '" �"�.
Jak zachowuje się cofnięcie formy względem różniczki?
Fakt 4.
d(�"�) = �"(d�)
5
Dowód: Lokalnie każda forma jest sumą wyrażeń postaci
fdg1 '" � � � '" dgk.
Mamy więc
�"(fdg1 '" � � � '" dgk) = (f �% �)(�"dg1) '" � � � '" (�"dgk)
i
d[�"(fdg1 '" � � � '" dgk)] = d(f �% �) '" (�"dg1) '" � � � '" (�"dgk) = (�"df) '" (�"dg1) '" � � � '" (�"dgk)
Z drugiej strony
d(fdg1 '" � � � '" dgk) = df '" dg1 '" � � � '" dgk
i
�"d(fdg1 '" � � � '" dgk) = (�"df) '" (�"dg1) '" � � � '" �"(dgk).
Konkurs. Przestrzeń totalna T"M wiązki kostycznej wyposażona jest w kanoniczną jednoformę
�M zwaną formą Liouville a. Jednoforma ta działa na wektory styczne do T"M czyli elementy
TT"M. Definicja formy Liouville a wymaga użycia dwóch naturalnych odwzorowań:
"
�T M : TT"M -�! T"M
przyporządkowującego wektorowi stycznemu jego punkt zaczepienia, oraz
T�M : TT"M -�! TM
odwzorowania stycznego do kanonicznego rzutu �M : TM �! M. Jeśli więc mamy wektor
styczny v� do T"M w punkcie � " T"M, możemy wyprodukować z niego jeden kowektor na
"
M: �T M(v�) = � i jeden wektor styczny do M: T�M (v�). Kowektor i wektor zaczepione są w
tym samym punkcie rozmaitości M, można je więc na sobie obliczyć:
"
�M(v�) = �T M(v�), T�M (v�) = �, T�M(v�) .
Dowolna forma
� : M -�! T"M
może zostać użyta do cofnięcia kanonicznej formy Liouville a z T"M do M. Zadanie konkursowe
polega na udowodnieniu, że
�"�M = �
dla dowolnej formy �. Wygrać można placek ze śliwkami, albo inne ciasto (według życzenia,
w zakresie moich umiejętności). Dowodzić można zarówno z użyciem współrzędnych jak też
geometrycznie. [ Pobierz całość w formacie PDF ]